Question

3．已知函数f（x）=（x-m）e^x（其中e为自然对数的底数）．
（1）若f（x）在原点处的切线与y=2x+1垂直，求实数m的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当m=0时，证明：f（x）≥lnx+x+1．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=（x-m+1）e^x，切线的斜率k=-$\frac{1}{2}$，故f′（0）=1-m=-$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）=（x-m+1）e^x，f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得函数函数的单调递减区间；
（3）当m=0时，f（x）=xe^x，设g（x）=xe^x-lnx-x-1，（x＞0），求导g′（x）=（x+1）（e^x-$\frac{1}{x}$），利用基本初等函数的单调性，求得g（x）单调性，g（x）≥g（x₀）=x₀（${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$）-lnx₀-x₀=0，即可证明，f（x）≥lnx+x+1．

解答 解：（1）函数f（x）=（x-m）e^x，求导f′（x）=（x-m+1）e^x，
若f（x）在原点处的切线与y=2x+1垂直，则切线的斜率k=-$\frac{1}{2}$，
故f′（0）=1-m=-$\frac{1}{2}$，
解得：m=$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）=（x-m+1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞m-1，
令f′（x）＜0，解得：x＜m-1，
故f（x）在（-∞，m-1）递减，在（m-1，+∞）递增；
（3）证明：m=0时，f（x）=xe^x，
令g（x）=xe^x-lnx-x-1，（x＞0），
g′（x）=（x+1）（e^x-$\frac{1}{x}$），
由函数y=e^x，在（0，+∞）上是增函数，函数y=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是减函数，
则h（x）=e^x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是增函数，则h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，h（1）=e-1＞0，
∴函数h（x）存在零点，设零点为x₀，${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{{x}_{0}}=0$，
∴lnx₀+x₀=0，
∴当0＜x＜x₀，g′（x）＜0，当x＞x₀，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数，
∴g（x）≥g（x₀）=x₀（${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$）-lnx₀-x₀=0，
∴f（x）≥lnx+x+1，
综上可知：函数f（x）≥lnx+x+1．．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及最值，考查构造法，考查计算能力，属于中档题．