Question

8．如图所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD边长为1的正方形，MA=2AB，P是MC上一点，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CM}$
（1）建立适当的坐标系并求点P坐标；
（2）求证：MB⊥DP．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AM为z轴，建立空间直角坐标系，能求出点P坐标．
（2）求出$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{DP}$，由∴$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{DP}$=0，能证明MB⊥DP．

解答 解：（1）∵MA⊥平面ABCD，底面ABCD边长为1的正方形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AM为z轴，建立空间直角坐标系，
∵MA=2AB，P是MC上一点，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CM}$，
∴C（1，1，0），M（0，0，2），设P（a，b，c），
则由$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CM}$，得（a-1，b-1，c）=（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=-\frac{1}{5}}\\{b-1=-\frac{1}{5}}\\{c=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{4}{5}$，b=$\frac{4}{5}$，c=$\frac{2}{5}$，
∴点P坐标（$\frac{4}{5}，\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）．
证明：（2）B（1，0，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{MB}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{DP}$=（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∴$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{DP}$=$\frac{4}{5}+0-\frac{4}{5}$=0，
∴MB⊥DP．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查线线垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．