Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF；
（3）若AB=4，AD=EF=ED=2，CF中点为M，求直线ED与平面MBD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的性质,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能证明AB∥EF．
（2）由已知条件推导出DE⊥BC，从而得到BC⊥平面CDEF，由此能证明平面BCF⊥平面CDEF．
（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ED与平面MBD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵AB不包含于平面CDEF，CD?平面CDEF，
∴AB∥平面CDEF．…（4分）
∵AB?平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，
∴AB∥EF．．…（5分）
（2）证明：∵DE⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴DE⊥BC．．…（7分）
∵BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面CDEF，
∴BC⊥平面CDEF．…（8分）
∵BC?平面BCF，∴平面BCF⊥平面CDEF．…（9分）
（3）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，
建立空间直角坐标系，．…（10分）
∵AB=4，AD=EF=ED=2，CF中点为M，
∴D（0，0，0），E（0，0，2），F（0，2，2），
C（0，4，0），M（0，3，1），B（2，4，0），
∴

DE

=(0，0，2)，

DM

=(0，3，1)，

DB

=(2，4，0)，
设平面MBD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DM =3y+z=0 n • DB =2x+4y=0

，取x=2，得

n

=(2，-1，3)，…（12分）
设直线ED与平面MBD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

DE

，

n

＞|=|

6

2 4+1+9

|=

3 14

28

．
∴直线ED与平面MBD所成角的正弦值为

3 14

28

．…（13分）

点评：本题考查直线平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．