Question

从集合{1，2，4，8，16，32，64}的所有非空真子集中等可能地取出一个．
（I）求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率；
（Ⅱ）记所取出的子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（I）确定所有非空真子集、所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的个数，利用古典概型概率公式可求概率；
（Ⅱ）ξ的可能取值是1、2、3、4、5、6，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（I）集合{1，2，4，8，16，32，64}的所有非空真子集，共有n=2⁷-2=126，
符合条件的子集有：三元集9个，四元集5个，五元集3个，六元集2个，共有m=9+5+3+2=19个，
∴所求概率为P=

m

n

=

19

126

；
（Ⅱ）ξ的可能取值是1、2、3、4、5、6，
P（ξ=1）=

C 1 7

126

=

7

126

，P（ξ=2）=

C 2 7

126

=

21

126

，P（ξ=3）=

C 3 7

126

=

35

126

，
P（ξ=4）=

C 4 7

126

=

35

126

，P（ξ=5）=

C 5 7

126

=

21

126

，P（ξ=6）=

C 6 7

126

=

7

126

，
∴ξ的分布列

ξ	1	2	3	4	5	6
P	7 126	21 126	35 126	35 126	21 126	7 126

数学期望Eξ=1×

7

126

+2×

21

126

+3×

35

126

+4×

35

126

+5×

21

126

+6×

7

126

=

441

126

=

7

2

．

点评：本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．本题还考到了集合的子集个数问题，一个含有n个元素的集合的子集个数是2ⁿ．