Question

已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求：
（1）a₁+a₂+a₃+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）a₀+a₂+a₄+a₆；
（4）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据所给的等式可得常数项a₀=1，在所给的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，从而求得a₁+a₂+a₃+…+a₇ 的值．
（2）在所给的等式中，分别令x=1、x=-1，可得2个等式，化简这2个等式即可求得a₁+a₃+a₅+a₇ 的值．
（3）用①加上②再除以2可得 a₀+a₂+a₄+a₆ 的值．
（4）在（1+2x）⁷中，令x=1，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|的值．

解答： 解：（1）∵已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，∴常数项a₀=1．
在所给的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₇ =-2．
（2）在所给的等式中，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1①，
令x=-1可得得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=3⁷②，
用①减去②再除以2可得 a₁+a₃+a₅+a₇ =-1094．
（3）用①加上②再除以2可得 a₀+a₂+a₄+a₆ =1093．
（4）在（1+2x）⁷中，令x=1，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|=3⁷=2187．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．