Question

已知正三棱锥S-ABC，SA=4，AB=6，SO⊥面ABC．
（1）求高SO，斜高SD；
（2）求S-ABC表面积与体积；
（3）求侧棱SA与面ABC所成角的正切值；
（4）求二面角S-BC-A的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意，O为△ABC的中心求出AO，DO，即可求高SO，斜高SD；
（2）利用表面积与体积，即可求S-ABC表面积与体积；
（3）∠SAO为侧棱SA与面ABC所成角，即可求侧棱SA与面ABC所成角的正切值；
（4）∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，即可求二面角S-BC-A的正弦值．

解答： 解：（1）由题意，O为△ABC的中心，∵AB=6，
∴AO=2

3

，DO=

3

，
∵SA=4，∴SO=2，
∴SD=

7

；
（2）S-ABC表面积为

3

4

•62+3•

1

2

•6•

7

=9

3

+9

7

；
体积为

1

3

•

3

4

•62•2=6

3

；
（3）∠SAO为侧棱SA与面ABC所成角，正切值为

SO

AO

=

3

3

；
（4）∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，正弦值为

SO

SD

=

2

7

=

2 7

7

．

点评：本题考查三棱锥的表面积与体积的计算，考查线面角、面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．