Question

函数y=ax³-x²+cx（a≠0）的图象如图所示，它与x轴仅有两个公共点O（0，0）与A（x_A，0）（x_A＞0）；（1）用反证法证明常数c≠0；（2）如果xA=

1

2

，求函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据反证明法的证明方法，先假设c=0，则y=ax³-x²=x²（ax-1），这与图象所给的矛盾，从而得出c≠0；
（2）由（1）知c≠0，得出y=x（ax²-x+c），图象与x轴仅有两个公共点，得出方程ax²-x+c=0（a≠0）有二等根

1

2

．
由韦达定理列出关于a，c．的方程，解之即可．

解答：解：（1）假设c=0，则y=ax³-x²=x²（ax-1）；
∴xA=

1

a

＞0，当x＜xA时，f(x)＜0这与图象所给的：
当0＜x＜x_A时，f（x）＞0矛盾，∴c≠0
（2）由（1）知c≠0，∴y=x（ax²-x+c）
∵图象与x轴仅有两个公共点，
∴方程ax²-x+c=0（a≠0）有二等根

1

2

．
由韦达定理

1 a = 1 2 + 1 2 c a = 1 2 × 1 2

，∴

a=1 c= 1 4

，∴y=x3-x2+

1

4

x

点评：本小题主要考查函数的图象与图象变化、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．