Question

（2013•青岛一模）若任意直线l过点F（0，1），且与函数f(x)=

1

4

x2的图象C于两个不同的点A，B过点A，BC，两切线交于点M
（Ⅰ）证明：点M纵坐标是一个定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x），g（x）=alnx（a＞0），求实数a取值范围；
（Ⅲ）求证：

2ln2

22

+

2ln3

32

+

2ln4

42

+…+

2ln

n2

≤

n-1

e

，（其中e自然对数的底数，n≥2，n∈N）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AB：y=kx+1，与抛物线方程联立，求出x₁x₂，利用函数的导数推出AM，BM的斜率，得到它们的方程，然后求出点M纵坐标是一个定值即可；
（Ⅱ）构造F（x）=f（x）-g（x），求出函数的最小值，利用不等式f（x）≥g（x），说明F（x）的最小值大于等于0，即可求实数a取值范围；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）：取a=

e

2

，则有

1

4

x2≥

e

2

lnx，代入x=2，3，4，…，n，即可求证：

2ln2

22

+

2ln3

32

+

2ln4

42

+…+

2ln

n2

≤

n-1

e

，（其中e自然对数的底数，n≥2，n∈N）．

解答：（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知AB的斜率必存在，设AB：y=kx+1，
将其代入y=

1

4

x2得：x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4…（2分）
∵f(x)=

1

4

x2，f′(x)=

1

2

x，∴kAM=

x1

2

，kBM=

x2

2

，
AM：y-

1

4

x12=

x1

2

(x-x1)，化简得：AM：y=

x1

2

x-

x12

4

…①
同理：BM：y=

x2

2

x-

x22

4

，…②
由①②消去x得：y=

x 1x2

4

=-1…（5分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

4

x2-alnx，（a＞0，x＞0），
∴F′（x）=

x

2

-

a

x

=

x2-2a

2x

令 F′（x）=0 得x=

2a

，
当x∈（0，

2a

）时F′（x）＜0，F（x）在x∈（0，

2a

）上单调递减； 
当x∈（

2a

，+∞）时F′（x）＞0，F（x）在x∈（

2a

，+∞）上单调递增；
∴F（x）在x=

2a

时取得最小值，…（7分）
要使f（x）≥g（x）恒成立，只需F（

2a

）≥0
即 

a

2

-aln

2a

≥0，解得a≤

e

2

，又a＞0，∴0＜a≤

e

2

…（9分）
（Ⅲ）根据（Ⅱ）：取a=

e

2

，则有

1

4

x2≥

e

2

lnx，化简得：

2

x2

lnx≤

1

e

  …（11分）
分别令x=2，3，4，…，n，得：

2

22

ln2≤

1

e

，

2

32

ln3≤

1

e

，…，

2

n2

lnn≤

1

e

相加：

2ln2

22

+

2ln3

32

+

2ln4

42

+…+

2ln

n2

≤

n-1

e

…（13分）

点评：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的最值证明不等式，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化数学与计算能力．