Question

【题目】已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 A+sin2 B=sin2C+sin AsinB，ccosB=b（1﹣cosC）．

（1）判断△ABC的形状；
（2）在△ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上的P点处，设∠BDP=θ，当AD最小时，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB得a2+b2=c2+ab

∴

又0＜C＜π∴

又由 ccosB=b（1﹣cosC）得：sinCcosB=sinB（1﹣cosC）

∴sinCcosB+sinBcosC=sinB∴sin（B+C）=sinB

即sinA=sinB∴a=b

故△ABC为等边三角形

（2）解：如图：连结AP，

∵AD=DP∴θ=2∠BAP

∴

又设AD=DP=y，AB=a，则BD=a﹣y

在△BDP中，由正弦定理有：

∴

故

∴ 时

此时

【解析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，结合两角和与差的三角函数，判断三角形的形状．（2）连结AP，设AD=DP=y，AB=a，则BD=a﹣y，由正弦定理求出表达式，通过三角函数的最值求解就．