Question

【题目】如图，在四棱锥中， 是的中点，底面为矩形， ， ， ，且平面平面，平面与棱交于点，平面与平面交于直线.

（1）求证： ；

（2）求与平面所成角的正弦值为，求的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意结合面面平行的判断定理可证得平面平面，结合面面平行的性质可得.

(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得的余弦值是.

试题解析：

（1）矩形中，

∵面， 平面，

∴平面，

又平面，

平面平面，∴，

又平面平面，∴

∴.

（2）取中点，连接，∵，∴，

又平面平面，且平面平面，

∴平面，连接，则为在平面内的射影，

∴为与平面所成角，∴.

∴，由题，∴

取中点，连接，以为坐标原点，分别以 ， 的方向分别为， ， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：

则： ， ， ， ，则， ，

设平面的法向量为，于是，∴，令，则，

∴平面的一个法向量

同理平面的一个法向量为，

∴.

可知二面角为钝二面角

所以二面角的余弦值为