Question

12．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f[f（$\frac{2015}{2}$）]的值是（　　）

• A． $\frac{2015}{2}$
• B． 1
• C． 0
• D． 2015

Answer 1

分析 对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），令x=-$\frac{1}{2}$可得：$f（\frac{1}{2}）$=0．令x=0，可得f（0）=0．x≠0时，f（x+1）=$\frac{x+1}{x}$f（x）．可得$f（\frac{2013}{2}+1）$=2015$f（\frac{1}{2}）$，即可得出．

解答 解：对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），
∴令x=-$\frac{1}{2}$可得：$-\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$$f（\frac{1}{2}）$，可得$f（\frac{1}{2}）$=0．
令x=0，则0f（1）=f（0），可得f（0）=0．
∴x≠0时，f（x+1）=$\frac{x+1}{x}$f（x）．
∴$f（\frac{1}{2}+1）$=3$f（\frac{1}{2}）$，$f（\frac{3}{2}+1）$=5$f（\frac{1}{2}）$．
∴$f（\frac{2013}{2}+1）$=2015$f（\frac{1}{2}）$=0．
∴f[f（$\frac{2015}{2}$）]=f（0）=0．
故选：0．

点评 本题考查了函数的周期性与奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．