Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1+kx}{{ln（{x+1}）}}$，其中k∈R．
（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞x+1对任意x∈（-1，0）∪（0，+∞）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）当x＞0时，不等式xf（x）＞x+1，化为k＞$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{{x}^{2}}$，可令g（x）=$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{{x}^{2}}$，再将g（x）与$\frac{1}{2}$比较，运用单调性即可判断；同样讨论当-1＜x＜0时，可得k＜$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{{x}^{2}}$，运用单调性即可判断．

解答 解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=$\frac{x+1}{ln（x+1）}$的导数为f′（x）=$\frac{ln（x+1）-1}{（ln（x+1））^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞e-1；由f′（x）＜0，可得-1＜x＜0或0＜x＜e-1；
则f（x）的增区间为（e-1，+∞）；减区间为（-1，0），（0，e-1）；
（Ⅱ）当x＞0时，不等式xf（x）＞x+1，
化为k＞$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{{x}^{2}}$，
可令g（x）=$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{{x}^{2}}$，
由g（x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{2（x+1）ln（x+1）-2x-{x}^{2}}{2{x}^{2}}$=$\frac{2（x+1）ln（x+1）-（x+1）^{2}+1}{2{x}^{2}}$，
由y=2（x+1）ln（x+1）-（x+1）²+1的导数为y′=2[ln（x+1）+1]-2（x+1）
=2[ln（x+1）-x]，
由y=ln（x+1）-x的导数为y′=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$＜0，
则x＞0时，y=ln（x+1）-x递减，
可得ln（x+1）-x＜0，
即y=2（x+1）ln（x+1）-（x+1）²+1在（0，+∞）递减，
可得g（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
则k≥$\frac{1}{2}$；
当-1＜x＜0，可得k＜$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{{x}^{2}}$，
由g（x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{2（x+1）ln（x+1）-2x-{x}^{2}}{2{x}^{2}}$=$\frac{2（x+1）ln（x+1）-（x+1）^{2}+1}{2{x}^{2}}$，
由y=2（x+1）ln（x+1）-（x+1）²+1的导数为y′=2[ln（x+1）+1]-2（x+1）
=2[ln（x+1）-x]，
由y=ln（x+1）-x的导数为y′=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$＞0，
则-1＜x＜0时，y=ln（x+1）-x递增，
可得ln（x+1）-x＜0，
即y=2（x+1）ln（x+1）-（x+1）²+1在（-1，0）递减，
可得g（x）-$\frac{1}{2}$＜0，即g（x）＜$\frac{1}{2}$，
则k≤$\frac{1}{2}$．
综上可得实数k的取值范围为{$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，考查化简整理的运算能力，属于难题．