【题目】设函数f(x)=aex﹣x﹣1,a∈R. (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)求证:当x∈(0,+∞)时,ln >
.
【答案】解:(Ⅰ)当a=1时,则f(x)=ex﹣x﹣1,f'(x)=ex﹣1; 令f'(x)=0,得x=0;
∴当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(﹣∞,0)上单调递减;
当x≥0时,f'(x)≥0,h(x)在(0,+∞)上单调递增;
即a=1时,f(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调赠区间为[0,+∞);
(Ⅱ)∵ex>0;
∴f(x)>0恒成立,等价于 恒成立;
设 ,x∈(0,+∞),
;
当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0;
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减;
∴x∈(0,+∞)时,g(x)<g(0)=1;
∴a≥1;
∴a的取值范围为[1,+∞);
(Ⅲ)证明:当x∈(0,+∞)时, 等价于ex﹣xex﹣1>0;
设h(x)=ex﹣xex﹣1,x∈(0,+∞), ;
由(Ⅱ)知,x∈(0,+∞)时,ex﹣x﹣1>0恒成立;
∴ ;
∴h′(x)>0;
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增;
∴x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0;
因此当x∈(0,+∞)时,
【解析】(Ⅰ)a=1时得出f(x),进而得到f′(x)=ex﹣1,这样便可判断导数符号,根据符号即可得出f(x)的单调区间;(Ⅱ)可以由f(x)>0恒成立得到 恒成立,这样设
,求导,根据导数符号便可判断g(x)在(0,+∞)上单调递减,这便可得到g(x)<1,从而便可得出a的取值范围;(Ⅲ)容易得到
等价于ex﹣xex﹣1>0,可设h(x)=ex﹣xex﹣1,求导数,并根据上面的f(x)>0可判断出导数h′(x)>0,从而得到h(x)>h(0)=0,这样即可得出要证明的结论.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=1﹣ ,其中n∈N* .
(1)设bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式;
(2)设cn= ,数列{cncn+2}的前n项和为Tn , 求证:Tn<3.
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【题目】已知{an}是等比数列,满足a2=6,a3=﹣18,数列{bn}满足b1=2,且{2bn+an}是公差为2的等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和.
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【题目】已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是( )
A.y=﹣f(x)在R上是减函数
B.y= 在R上是减函数
C.y=[f(x)]2在R上是增函数
D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数
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【题目】函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1 , x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x﹣1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
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【题目】判断下列各组函数是否为相等函数:
⑴f(x)=f(x)= ,g(x)=x﹣5;
⑵f(x)=2x+1(x∈Z),g(x)=2x+1(x∈R);
⑶f(x)=|x+1|,g(x)= .
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【题目】已知函数f(x)=ln(1+x)﹣x+ x2(k≥0). (Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
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【题目】已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣ 成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(2)求使 +
﹣2的值为整数的实数k的整数值.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =
,
=
﹣
.
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