Question

【题目】函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1 ， x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵对于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），

∴令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．

（2）解：f（x）为偶函数．

证明：令x1=x2=﹣1，有f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）= f（1）=0．

令x1=﹣1，x2=x有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数．

（3）解：依题设有f（4×4）=f（4）+f（4）=2，由（2）知，f（x）是偶函数，

∴f（x﹣1）＜2f（|x﹣1|）＜f（16）．又f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴0＜|x﹣1|＜16，解之得﹣15＜x＜17且x≠1，∴x的取值范围是{x|﹣15＜x＜17且x≠1}．

【解析】（1）根据抽象函数的关系求得f（1）的值；（2）令x1=﹣1，x2=x，并结合抽象函数的关系及f（﹣1）的值判断函数的奇偶性；（3）根据f（4）=1及函数关系可求得函数值为2的自变量的值，再利用单调性变为自变量的不等式，从而求得x的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的奇偶性与单调性的综合，需要了解奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能得出正确答案．