Question

【题目】如图，抛物线方程为x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

试题由已知可设A，B，M(x0，－2p)；求出y′＝根据导数的几何意义可得kMA＝ ，kMB＝；结合M(x0，－2p)得到直线MA的方程为y＋2p＝ (x－x0)，直线MB的方程为y＋2p＝ (x－x0)，将 坐标分别代入对应的直线方程整理可得x0＝，命题得证.

试题解析：

由题意设A，B，

M(x0，－2p)．由x2＝2py，得y＝ ，则y′＝ ，

所以kMA＝ ，kMB＝ .

因此直线MA的方程为y＋2p＝ (x－x0)．

直线MB的方程为y＋2p＝ (x－x0)．

又A，B分别在直线MA，MB上，

所以 ＋2p＝ (x1－x0)， ①

＋2p＝ (x2－x0)， ②

由①②得，＝x1＋x2－x0，

因此x0＝，

所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．