【题目】如图,抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.
【答案】证明见解析
【解析】
试题由已知可设A,B
,M(x0,-2p);求出y′=
根据导数的几何意义可得kMA=
,kMB=
;结合M(x0,-2p)得到直线MA的方程为y+2p=
(x-x0),直线MB的方程为y+2p=
(x-x0),将
坐标分别代入对应的直线方程整理可得x0=
,命题得证.
试题解析:
由题意设A,B
,
M(x0,-2p).由x2=2py,得y= ,则y′=
,
所以kMA= ,kMB=
.
因此直线MA的方程为y+2p= (x-x0).
直线MB的方程为y+2p= (x-x0).
又A,B分别在直线MA,MB上,
所以 +2p=
(x1-x0), ①
+2p=
(x2-x0), ②
由①②得,
=x1+x2-x0,
因此x0=,
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
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【题目】在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目接在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?
(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序?
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【题目】在充分竞争的市场环境中,产品的定价至关重要,它将影响产品的销量,进而影响生产成本、品牌形象等某公司根据多年的市场经验,总结得到了其生产的产品A在一个销售季度的销量
单位:万件
与售价
单位:元
之间满足函数关系
,A的单件成本
单位:元
与销量y之间满足函数关系
.
当产品A的售价在什么范围内时,能使得其销量不低于5万件?
当产品A的售价为多少时,总利润最大?
注:总利润
销量
售价
单件成本
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【题目】市场上有一种新型的强力洗衣液,特点是去污速度快.已知每投放(
,且
)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度
(克/升)随着时间
(分钟)变化的函数关系式近似为
,其中
.若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于
(克/升)时,它才能起到有效去污的作用.
(1)当一次投放个单位的洗衣液时,求在
分钟时,洗衣液在水中释放的浓度.
(2)在(1)的情况下,即一次投放个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?
(3)若第一次投放个单位的洗衣液,
分钟后再投放
个单位的洗衣液,请你写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度
(克/升)与时间
(分钟)的函数关系式,求出最低浓度,并判断接下来的四分钟是否能够持续有效去污.
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【题目】已知二次函数和函数
,
(1)若为偶函数,试判断
的奇偶性;
(2)若方程有两个不等的实根
,则
①试判断函数在区间
上是否具有单调性,并说明理由;
②若方程的两实根为
求使
成立的
的取值范围.
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【题目】如图在侧棱垂直底面的四棱柱中,
,
,
.
,
,
,
分别是
的中点,
为
与
的交点.
(I) 求线段,
的长度;
(II)证明:平面
;
(III)求与平面
所成的角的正弦值.
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【题目】已知常数,向量
,
,经过点
,以
为方向向量的直线与经过点
,以
为方向向量的直线交于点
,其中
.
()求点
的轨迹方程,并指出轨迹
.
()若点
,当
时,
为轨迹
上任意一点,求
的最小值.
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