Question

【题目】已知函数，．

（1）求单调区间；

（2）设，证明：在上有最小值；设在上的最小值为，求函数的值域．

Answer 1

【答案】（1）在单调递增，单调递减，在单调递增．

（2）.

【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数零点，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先求导函数，根据导函数单调性以及零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，再根据导函数符号确定单调性，由单调性确定最小值.根据导函数零点条件得，根据（1）的单调性确定值域.

详解：（1）．

由得，或；由得．

所以在单调递增，单调递减，在单调递增．

（2）．设，则当时，， 在上是增函数．

因为，，故在上有唯一零点．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．故当时，在上的最小值．

因为，，所以．

当时，是的递减函数，所以等价于．

由（1）知在递减，所以

于是函数的值域为．