Question

【题目】如图在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，.，,，分别是的中点，为与的交点.

（I） 求线段，的长度；

（II）证明：平面；

（III）求与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) .

【解析】

试题分析:(1) 在中，由勾股定理求得的长度, 在矩形中，,利用三角形相似求出和;(2) 因为，所以，又因为，由线面垂直的判定定理可得，,再根据勾股定理计算得出,由线面垂直的判定定理即可证明;(3) 连结，由（II）知平面，所以是与平面所成的角. 在直角中,求出的正弦值即与平面所成角的正弦值.

试题解析:

（I）由题知，在中，，所以.

又在矩形中，，所以，

所以，同理.

（II）因为，所以，

又因为，，，，

所以，.

由（I）知，，，，所以，

所以.又，，，

所以平面.

（III）连结，由（II）知平面，

所以是与平面所成的角.

由（I）及题知，在直角中，，，

得，所以与平面所成角的正弦值是.