Question

【题目】设函数。

（1）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程；

（2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切线方程为；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：(1)求出导函数, 由f′(1)＝0得a＝－2,求出f(x)的解析式,将x＝－1代入f(x)求出切点坐标,将x＝－1代入导函数求出切线的斜率,由点斜式求出切线的方程.

(2)函数不单调,即函数在区间(，1)有极值,即导函数在区间上有解,令导函数为0,分离出a,求出a的范围.

试题解析：(Ⅰ)f′(x)＝3x2＋2ax＋1由f′(1)＝0得a＝－2

∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，当x＝－1时，y＝－3即切点(－1，－3)

k＝f′(x0)＝3－4x0＋1，令x0＝－1得k＝8，

∴切线方程为8x－y＋5＝0

(Ⅱ)f(x)在区间(，1)内不单调 ，即f′(x)＝0在(，1)有解

∴3x2＋2ax＋1＝0,2ax＝－3x2－1由x∈(，1)，∴2a＝－3x－

令h(x)＝－3x－

∴h′(x)＝－3＋<0知h(x)在(，1)单调递减，在(，]单调递增

∴h(1)<h(x)≤h()即h(x)∈(－4，－2]，

∴－4<2a≤－2即－2<a≤－

而当a＝－，时，f′(x)＝3x2－2x＋1＝(x－1)2≥0

∴舍去，

综上a∈(－2，－).