Question

3．已知集合A={x|$\frac{x+1}{x-2}$＜0}，集合B={x|x²-mx+n＜0}．
（1）若A=B，求实数m、n的值；
（2）若A⊆B，求m-3n的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，利用A=B，可得-1，2是x²-mx+n=0的两个根，利用韦达定理，即可求实数m、n的值；
（2）若A⊆B，1+m+n≤0且4-2m+n≤0，即m+n≤-1且-2m+n≤-4，设m-3n=a（m+n）+b（-2m+n），求出a，b，即可求m-3n的最小值．

解答 解：（1）集合A={x|$\frac{x+1}{x-2}$＜0}=（-1，2），
∵A=B，B={x|x²-mx+n＜0}，
∴-1，2是x²-mx+n=0的两个根，
∴-1+2=m，（-1）×2=n，
∴m=1，n=-2；
（2）∵A⊆B，∴1+m+n≤0且4-2m+n≤0，
即m+n≤-1且-2m+n≤-4，
设m-3n=a（m+n）+b（-2m+n），则$\left\{\begin{array}{l}{a-2b=1}\\{a+b=-3}\end{array}\right.$，∴a=-$\frac{5}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，
∴m-3n=-$\frac{5}{3}$（-m+n）-$\frac{4}{3}$（-2m+n）≥$\frac{5}{3}$+$\frac{16}{3}$=7，
∴m-3n的最小值为7．

点评 本题考查集合的包含关系，考查韦达定理的运用，考查待定系数法的运用，属于中档题．