Question

如图：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别是棱A₁B₁，CD的中点，点M是EF的动点，FM=x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V（x），则函数V（x）的大致图象是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数思想

分析：本题关键是理解，体积V（x）的变化是随变x的变化而怎样变化的，可以找列出V关于x的关系式，利用相似比就可以找到它们的关系，从而得到答案，当然此题也可以从体积的变化快慢来理解得到答案．

解答： 解：如图：（1）当0＜x＜

2

2

时，过点M、直线AB作平面交CC₁，DD₁于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，
此时，截面下面那部分是三棱矩ADQ-BCP，
∵FM=CM₁=x，如图：B₁C=

2

，△BB₁M₁∽△PM₁C，由相似比得，

CP

BB1

=

MC

B1M

，

CP

1

=

x

2 -x

，∴CP=

x

2 -x

，
∴三棱矩ADQ-BCP的体积V（x）=S_△BCP•AB=

1

2

×

x

2 -x

×1×1=

x

2( 2 -x)

；
（2）当

2

2

＜x＜

2

时，过点M、直线AB作平面交B₁C₁，A₁D₁于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，
此时，截面下面那部分是四棱矩ADQA₁-BCPB₁，
∵FM=x，由相似比知C₁P=

2x- 2

x

，
∴四棱矩ADQA₁-BCPB₁的体积V（x）=

1

2

(

2x- 2

x

+1)×1×1=

3x- 2

2x

．
∴V（X）=

x 2( 2 -x)  (0＜x≤ 2 2 ) 3x- 2 2x  ( 2 2 ＜x＜ 2 )

．
由解析式，知V（x）的图象为C．
故选：C．

点评：本题考查空间相象能力，函数思想，关键是要求理解变量与变量之间的关系．属于较难题．