Question

观察下列各等式（i为虚数单位）：
（cos1+isin1）（cos2+isin2）=cos3+isin3；
（cos3+isin3）（cos5+isin5）=cos8+isin8；
（cos4+isin4）（cos7+isin7）=cos11+isin11；
（cos6+isin6）（cos6+isin6）=cos12+isin12．
记f（x）=cosx+isinx．
（1）猜想出一个用 f（x），f（y），f（x+y）表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；
（2）根据（1）的结论推出f ⁿ（x）的表达式；
（3）利用上述结论计算：（cos

π

12

+isin

π

12

）•（cos

5π

12

+isin

5π

12

）+（

3

2

+

1

2

i）²⁰⁰⁷．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）由已知中的式子，发现若f（x）=cosx+isinx，则f（x）f（y）=f（x+y），进而利用复数的运算法则和和差角公式，可证得结论；
（2）由（1）的结论，根据乘方是乘数相等的乘法，可得fⁿ（x）=f（x）•f（x）…f（x）=f（nx）=cosnx+isinnx；
（3）由（2）中结论，结合特殊角的三角函数，可求出（3）中式子的值．

解答： 解：（1）f（x）f（y）=f（x+y）．…..（2分）
证明：f（x）f（y）=（cos x+isin x）（cos y+isin y）
=（cos xcos y-sin xsin y）+（sin xcos y+cos xsin y）i
=cos（x+y）+isin（x+y）
=f（x+y）．…ks5u…（5分）
（2）∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴fⁿ（x）=f（x）•f（x）…f（x）=f（nx）=cosnx+isinnx．…．（8分）
（3）（cos

π

12

+isin

π

12

）•（cos

5π

12

+isin

5π

12

）+（

3

2

+

1

2

i）²⁰⁰⁷
=（cos

π

2

+isin

π

2

）+（cos

2007π

6

+isin

2007π

6

）
=i+（cos

669π

2

+isin

669π

2

）=2i…（12分）

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．