Question

已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，得到f'（1）=2，然后利用导数确定a，b满足的关系式．
（2）构造函数g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）．利用导数求函数的最值即可．

解答：解：（1）函数的导数为f′(x)=a-

b

x2

，因为f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
所以f'（1）=2，即f'（1）=a-b=2，所以b=a-2．
（2）因为b=a-2，所以f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
若f（x）≥2lnx，则f（x）-2lnx≥0，
设g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）．
则g（1）=0，g′(x)=a-

a-2

x2

-

2

x

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，
①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞，若1＜x＜

2-a

a

，则g'（x）＜0，此时g（x）在[1，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（1）=0，
即f（x）≥2lnx在[1，+∞）不恒成立．
②若a≥1，

2-a

a

≤1，当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，
所以此时f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力．综合性较强．