Question

【题目】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S． ①当 时，S为四边形
②截面在底面上投影面积恒为定值
③不存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直
④当 时，S与C1D1的交点满足C1R1=
其中正确命题的个数为 （ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQDT=2CQ． 对于①，当0＜CQ＜ 时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；
对于②，当CQ＞ 时，投影面积不为 ，故②不正确；
对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直，故③正确；
对于④，当CQ= 时，如图，

延长DD1至N，使D1N= ，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1 ， 可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R= ，故④正确；
故选：C．
【考点精析】关于本题考查的棱柱的结构特征，需要了解两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形才能得出正确答案．