Question

1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cos?\\ y=2sin?\end{array}$（?为参数，且0≤?＜2π），曲线l的极坐标方程为ρ=$\frac{2-3k}{2sinθ-2kcosθ}$（k是常数，且k∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线l直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线l被曲线C截的弦是以（$\frac{3}{2}$，1）为中点，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-2=2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，利用三角函数基本关系式可得曲线C的普通方程．曲线l的极坐标方程为ρ=$\frac{2-3k}{2sinθ-2kcosθ}$（k是常数），由互换公式，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入即可得出曲线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是圆，曲线l是直线，且以$（\frac{3}{2}\;，\;1）$为弦的中点，利用垂经定理、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-2=2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，
则（x-2）²+y²=（2cos?）²+（2sin?）²，
即曲线C的普通方程为（x-2）²+y²=4．
曲线l的极坐标方程为ρ=$\frac{2-3k}{2sinθ-2kcosθ}$（k是常数）．
由互换公式，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得2y-2kx=2-3k，
即曲线l的直角坐标方程为$y-1=k（x-\frac{3}{2}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是圆，曲线l是直线，且以$（\frac{3}{2}\;，\;1）$为弦的中点，
则$k•\frac{1-0}{{\frac{3}{2}-2}}=-1$，则$k=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、垂经定理、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．