Question

【题目】△ABC的外接圆半径R= ，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 =
（1）求角B和边长b；
（2）求S△ABC的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），

∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，

∴2sinAcosB=sinA，可得cosB= ．

又∵B∈（0，π），∴ ，

由正弦定理 ，可得b=2RsinB=2 sin =3

（2）解：∵b=3， ，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2﹣ac=9，

因此，ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，当且仅当a=c时等号成立，

∵S△ABC= = ，∴

由此可得：当且仅当a=c时，S△ABC有最大值 ，此时a=b=c=3，可得△ABC是等边三角形

【解析】（1）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到2sinAcosB=sin（B+C），根据三角函数的诱导公式可得sin（B+C）=sinA＞0，从而得出cosB= ，可得 ，最后由正弦定理加以计算，可得边b的长；（2）由b=3且 ，利用余弦定理算出a2+c2﹣ac=9，再根据基本不等式算出ac≤9．利用三角形的面积公式算出S△ABC= ，从而得到当且仅当a=c时，S△ABC有最大值 ，进而得到此时△ABC是等边三角形．