Question

【题目】设函数，f（x）=|x﹣a|
（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2，不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．
由绝对值的意义可得，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到1、2的距离之和，而﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5，
故|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得 a﹣1≤x≤a+1，
再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1．
故有 +=1（m＞0，n＞0），∴m+2n=（m+2n）+=2++≥4，
当且仅当=时，等号成立，故m+2n≥4成立．
【解析】（Ⅰ）当a=2，不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．由绝对值的意义可得﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤1求得 a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1，再根据 m+2n=（m+2n）+=2++ ， 利用基本不等式证得要证的不等式．
【考点精析】本题主要考查了基本不等式和绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．