Question

已知函数f（x）=e^x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意a∈（-∞，0），函数f（x）存在最小值；
③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

②④
分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．
解答：解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e^x+
①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e^x+≥0，是增函数．所以①不正确，
②∵a∈（-∞，0），∴存在x有f′（x）=e^x+=0，可以判断函数有最小值，②正确．
③画出函数y=e^x，y=alnx的图象，如图：显然不正确．
④令函数y=e^x是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（-∞，0），f（x）=e^x+alnx=0有两个根，正确．
故答案为：②④
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题．