Question

已知向量

a

=（

3

，t），

b

=（

1

2

，

3

2

），且向量

c

=

a

+（tanθ-3）

b

，

d

=m

a

+

b

tanθ，其中m，θ均为实数．
（1）若

a

∥

b

，试求t的值；
（2）若

a

⊥

b

，试求|

a

+

b

|；
（3）当t=-1，

c

⊥

d

时，求实数m最大值．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：分别利用向量平行和垂直的坐标的关系得到t的关系式求之．

解答： 解：（1）若

a

∥

b

，则

3

×

3

2

=

1

2

t，解得t=3；
（2）若

a

⊥

b

，则

a

•

b

=0，即

3

2

+

3

2

t=0，解得t=-1，所以|

a

+

b

|²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=4+1=5，所以|

a

+

b

|=

5

；
（3）当t=-1时，向量

a

=（

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），且向量

c

=

a

+（tanθ-3）

b

=，

d

=m

a

+

b

tanθ，所以

c

•

d

=0，即（

a

+（tanθ-3）

b

）（m

a

+

b

tanθ）=m

a

2+

a

•

b

tanθ+m（tanθ-3）

a

•

b

+

b

2tanθ（tanθ-3）=0，所以 m=

(3-tanθ)tanθ

4

=-

1

4

(tanθ-

3

2

)2+

9

16

，
所以tanθ=

3

2

时，实数m最大值为

9

16

．

点评：本题考查了向量平行的性质以及向量垂直的性质的运用，考查了学生的计算能力．