Question

已知f（x）=

a

•

b

-1，其中向量

a

=（

3

sin2x，cosx），

b

=（1，2cosx）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（A）=2，a=

7

，b=

3

，求边长c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示，及二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的单调减区间，解不等式即可得到所求减区间；
（Ⅱ）由f（A）=2，求出A，再由余弦定理，即可得到c．

解答： 解：（Ⅰ）f （x）=

a

•

b

-1=（

3

sin2x，cosx）•（1，2cosx）-1
=

3

sin2x+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴f （x）的递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z）；
（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+

π

6

）=2，∴sin（2A+

π

6

）=1，
由于0＜A＜π，则

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，即有2A+

π

6

=

π

2

，
则有A=

π

6

；
由余弦定理得 a²=b²+c²-2bccosA
7=3+c²-3c 即 c²-3c-4=0，即（c-4）（c+1）=0，
解得c=4或c=-1 （不合题意，舍去）
则c=4．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的单调减区间，考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．