Question

等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n．等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，a₃=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设{a_n}公差为d，数列{b_n}的公比为q，由已知可得

q+3+3+d=12 q2=3+2d

，由此能求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由Sn=

n(3+3n)

2

，得

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由已知可得

q+3+3+d=12 q2=3+2d

，
又q＞0，∴

d=3 q=3

，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a_n}中，a₁=3，a_n=3n，
∴Sn=

n(3+3n)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

2

3

(1-

1

n+1

)
=

2n

3(n+1)

．

点评：本题考查数列{a_n}与{b_n}的通项公式和数列{

1

Sn

}的前n项和T_n的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．