Question

【题目】设函数（是常数）.

（1）证明：是奇函数；

（2）当时，证明：在区间上单调递增；

（3）若，使得，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）可看出f（x）的定义域为{x|x≠0}，并容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出f（x）是奇函数；

（2）λ＝1时，，根据增函数的定义：设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，说明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（1，+∞）上单调递增；

（3）可设，根据题意可知，m≥g（x）min，x∈[1，2]，可设2x＝t（2≤t≤4），得出，根据上面知y在[2，4]上单调递增，从而可求出g（x）在[1，2]上的最小值，即得出m的范围．

解：（1）定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x），

∴f（x）是奇函数；

（2）证明：λ＝1时，，

设x1＞x2＞1，则：，

∵x1＞x2＞1，

∴x1﹣x2＞0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，

∴，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；

（3）设，

x∈[1，2]，使得等价于m≥g（x）min，x∈[1，2]，

设2x＝t（2≤t≤4），则，由（2）可知，在[2，4]上单调递增，

∴当t＝2，即x＝1时，y取得最小值为，

∴，

∴实数m的取值范围为．