Question

【题目】设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，则①函数的周期是；②在上是增函数，在上是减函数；③的最大值是，最小值是；④当时， ，其中所有真命题的序号是__________．

Answer 1

【答案】①④

【解析】①因为f（x+1）=f（x-1），所以f（x+2）=f（x），所以函数是周期函数，周期为2，所以①正确．

②当x∈[0，1）时f（x）=log0.5（1-x），此时函数单调递增．因为函数为偶函数，所以函数在（-1，0）上单调递减，所以f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，所以②错误．
③由②知函数在x=0处取得最小值，在x=1处取得最大值，因为f（0=log0.5（1-0）=0，所以最小值为0．因为函数的最大值为f（1），但f（1）没有具体的数值，所以③错误．
④若3＜x＜4，则-4＜-x＜-3，所以0＜4-x＜1，所以f（x）=f（-x）=f（4-x）=log0.5[1-（4-x）]=log0.5（x-3），所以④正确．
故答案为：①④．