【题目】已知函数.
(1)求的图像在点处的切线方程;
(2)求在区间上的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)先求出,再求出的值可得切点坐标,求出的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线在点处的切线方程;(2)利用导数研究函数的单调性可得当时, 递增;当时递减;可得所以, .
试题解析:(1),
所以
则.又,所以的图象在点处的切线方程为.
(2)由(1)知.
因为与都是区间上的增函数,所以是上的增函数.
又,所以当时, ,即,此时递增;
当时,即,此时递减;
又, , .
所以, .
所以在区间的取值范围为
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在处的导数,即在点 出的切线斜率(当曲线在处的切线与轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为);(2)由点斜式求得切线方程.
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【题目】设函数是定义在上的偶函数,且对任意的恒有,已知当时,则①函数的周期是;②在上是增函数,在上是减函数;③的最大值是,最小值是;④当时, ,其中所有真命题的序号是__________.
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【题目】对于定义域为D的函数,若存在区间,使得同时满足,①在上是单调函数,②当的定义域为时,的值域也为,则称区间为该函数的一个“和谐区间”
(1)求出函数的所有“和谐区间”;
(2)函数是否存在“和谐区间”?若存在,求出实数a,b的值;若不存在,请说明理由
(3)已知定义在上的函数有“和谐区间”,求正整数k取最小值时实数m的取值范围.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,以为极点, 轴非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程;
(2)设为椭圆上任意一点,求的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
(1)求曲线C1与C2的直角坐标方程;
(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数t的取值范围.
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【题目】已知椭圆的长轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点,过点作直线的垂线,垂足为,连接,当直线的倾斜角发生变化时,直线与轴是否相交于定点?若是,求出定点坐标,否则,说明理由.
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【题目】已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表:
表1:某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
1月1日 | 7:36 | 4月9日 | 5:46 | 7月9日 | 4:53 | 10月8日 | 6:17 |
1月21日 | 7:11 | 4月28日 | 5:19 | 7月27日 | 5:07 | 10月26日 | 6:36 |
2月10日 | 7:14 | 5月16日 | 4:59 | 8月14日 | 5:24 | 11月13日 | 6:56 |
3月2日 | 6:47 | 6月3日 | 4:47 | 9月2日 | 5:42 | 12月1日 | 7:16 |
3月22日 | 6:15 | 6月22日 | 4:46 | 9月20日 | 5:50 | 12月20日 | 7:31 |
表2:某年1月部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
2月1日 | 7:23 | 2月11日 | 7:13 | 2月21日 | 6:59 |
2月3日 | 7:22 | 2月13日 | 7:11 | 2月23日 | 6:57 |
2月5日 | 7:20 | 2月15日 | 7:08 | 2月25日 | 6:55 |
2月7日 | 7:17 | 2月17日 | 7:05 | 2月27日 | 6:52 |
2月9日 | 7:15 | 2月19日 | 7:02 | 2月28日 | 6:49 |
(1)从表1的日期中随机选出一天,试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率;
(2)甲、乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗,且两人的选择相互独立,记为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数,求的 分布列和数学期望;
(3)将表1和表2的升旗时刻化为分数后作为样本数据(如7:31化为),记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为,表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为,判断与的大小(只需写出结论).
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【题目】销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元,它们与投入资金 万元的关系分别为,,(其中都为常数),函数对应的曲线、如图所示.
(1)求函数与的解析式;
(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.
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