Question

【题目】对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”

（1）求出函数的所有“和谐区间”；

（2）函数是否存在“和谐区间”？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由

（3）已知定义在上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）不存在；理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求符合条件的“和谐”区间；

（2）判断函数是否满足“和谐”函数的条件即可；

（3）根据函数是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数的取值范围．

（1）因为函数在上单调递增，

所以有或或；

即或或．

（2）画出函数的图象

由图可知函数在 ， 上单调递增，在上单调递减；

且函数值域为，故在上不存在 “和谐区间”；

假设函数在区间存在 “和谐区间”，则 方程组无解，假设不成立；同理可得函数在区间也不存在 “和谐区间”。

故函数不存在 “和谐区间”。

（3）在上有“和谐区间”，

所以存在区间，使函数的值域为，

函数在上单调递增

在单调递增，即，

为关于的方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令

与，问题转化为函数与，在上存在两个不同的交点.

考察函数如图

函数在单调递减，在上单调递增.

，且，

∵函数在上递减，当时，直线与函数不可能有两个交点，∴

∵在递增，由图象可知，当时，函数与在存在两个交点，

所以正整数的最小值为，，此时，，解得.

故.