Question

【题目】如图，在三棱锥中，为的中点.

（1）证明:；

（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求直线与所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析过程；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理逆定理可以证明底面直角三角形的性质，结合侧棱相等，可以确定是底面的垂线，进而利用线面垂直的性质进行证明即可；

（2）由（1）中的线面垂直关系，可以证明出平面和平面互相垂直，根据面面垂直的性质定理，结合线面角的定义，可以求出的长，最后利用异面直线的定义进行求解即可.

（1）因为，所以有，所以三角形是直角三角形，而为斜边的中点.所以三角形的外心为点，因为，所以点在底面的射影是底面的外心，因此平面，而平面，因此有；

（2）由（1）可知：平面，而平面，所以平面平面，过作，垂足为，因为平面平面，所以平面，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，设，

所以，因此由，因此有

，根据，可得

或（舍去），故，因此点是线段的中点，取的中点，连接，则有，所以是直线与所成角（或补角），

因为，，所以，由余弦定理可知：.