Question

已知a是实数，函数f（x）=x²-2（a+2）x+a²．
（1）若关于x的方程f（x）=1有两个正根，求a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=1有两个都大于2的根，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）关于x的方程即x²-2（a+2）x+a²-1=0，由题意可得△≥0，且x₁+x₂＞0，且且对称轴x=a+2＞0，且h（0）=a²-1＞0，由此求得a的范围．
（2）关于x的方程即g（x）=x²-2（a+2）x+a²-1=0，由题意可得△≥0，对称轴x=a+2＞2，g（2）=a²-4a-5＞0，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）关于x的方程f（x）=1即x²-2（a+2）x+a²-1=0．
令h（x）=x²-2（a+2）x+a²-1，
由题意可得△=4（a+2）²-4（a²-1）≥0，且对称轴x=a+2＞0，且h（0）=a²-1＞0．
解得-

5

4

＜a＜-1，或 a＞1，
即a的范围是{a|-

5

4

＜a＜-1，或a＞1}．
（2）关于x的方程f（x）=1即x²-2（a+2）x+a²-1=0，
令g（x）=x²-2（a+2）x+a²-1，
由题意可得△=4（a+2）²-4（a²-1）≥0，对称轴x=a+2＞2，g（2）=a²-4a-5＞0，
解得 a≥5．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，韦达定理，体现了转化的数学思想，属于基础题．