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已知动圆过定点D(1,0),且与直线l:x=-1相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C;
(2)过定点D(1,0)作直线l交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点O的对称点,求证:∠AED=∠BED.
(1)由题知意:动圆圆心M的轨迹方程为:y2=4x,
∴动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线
(2)①当直线l垂直于x轴时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED;
②当直线L与X轴不垂直时,依题意,可设直线L的方程为y=k(x-1)(k≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2)则A,B两点的坐标满足方程组
y=k(x-1)
y2=4x
消去x并整理,得ky2-4y-4k=0,y1+y2=
4
k
,y1y2=-4
则:k1+k2=
y1
x1+1
+
y2
x2+1
=
y1(x2+1)+y2(x1+1)
(x1+1)(x2+1)
=
1
4
y
1
y22+
4
y2y12+y1+y2
(x1+1)(x2+1)

=
1
4
y
1
y2(y2+y2)+(y1+y2)
(x1+1)(x2+1)
=
1
4
(-4)(
4
k
)+
4
k
(x1+1)(x2+1)
=0.
∴tan∠AED+tan(180°-∠BED)=0,∴tan∠AED=TAN∠BED,
∵0<∠AED<
π
2
,0<∠BED<
π
2
,∴∠AED=∠BED.
综合①、②可知∠AED=∠BED.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

直线l:x-y=0与椭圆
x2
2
+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知点A是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点,若点C(
3
2
3
2
)
在椭圆上,且满足
OC
OA
=
3
2
.(其中O为坐标原点)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l与椭圆交于两点M,N,当
OM
+
ON
=m
OC
,m∈(0,2)
时,求△OMN面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线x-y+1=0经过椭圆S:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意k>0,求证:PA⊥PB.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1,点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,Q为射线F1P延长线上一点,且|PQ|=|PF2|,设R为F2Q的中点.
(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;
(2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+4
2
)与曲线C相交于A、B两点,若∠AOB=90°时,求k的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线C:x2=2py(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A、B两点,且
OA
OB
=0
(O为坐标原点),直线l与圆O相切,切点在劣弧AB(含A、B两点)上,且与抛物线C相交于M、N两点,d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求d的最大值,并求d取得最大值时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆C过定点F(-
1
4
,0),且与直线x=
1
4
相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.
(I)求曲线E的方程;
(II)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值;

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=
3
2
,点A,B关于y轴对称.一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知点S(0,-
3
),T(0,
3
)
,求∠SPT的最小值;
(3)若点F(1,
3
2
)
是曲线E上的一点,设M,N是曲线E上不同的两点,直线FM和FN的倾斜角互补,试判断直线MN的斜率是否为定值,如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

直线y=x-1被y2=x截得的弦长为(  )
A.3B.2
3
C.
10
D.4

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