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已知圆C过定点F(-
1
4
,0),且与直线x=
1
4
相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.
(I)求曲线E的方程;
(II)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值;
(I)由题意,点C到定点(-
1
4
,0)和直线x=
1
4
的距离相等,
所以点C的轨迹方程为y2=-x
(II)由方程组
y2=-x
y=k(x+1)
消去x,整理得ky2+y-k=0
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-
1
k
,y1y2=-1
设直线l与x轴的交点为N,则N(-1,0)
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=
1
2
|ON||y1|+
1
2
|ON||y2|=
1
2
•1•
(y1+y2)2-4y1y2
=
1
2
(
1
k
)
2
+4

∵S△OAB=
10
,求得k=±
1
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练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为(  )
A.18B.24C.36D.48

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知双曲线C的渐近线为y=±
3
x
且过点M(1,
2
).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
左、右顶点分别为A、B,椭圆C的右焦点为F,
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
10
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(t,m)是直线x=9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知动圆过定点D(1,0),且与直线l:x=-1相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C;
(2)过定点D(1,0)作直线l交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点O的对称点,求证:∠AED=∠BED.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

F1,F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右焦点,Q是双曲线上动点,从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则P点的轨迹是(  )的一部分.
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线l与椭圆C:
x2
3
+
y2
2
=1
交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=
6
2
,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
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2
?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知点P(x,y)满足椭圆方程2x2+y2=1,则
y
x-1
的最大值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为
2
3
3
,且过点P(
6
,1).
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
OA
OB
>2(O为坐标原点),求实数k的取值范围.

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