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    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的离心率为
    2
    		3
    3
    ，且过点P（
    		6
    ，1）．
    （Ⅰ）求双曲线C的方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2（O为坐标原点），求实数k的取值范围．
    （Ⅰ）由题意
    c
    a
    =
    2
    		3
    3
    6
    a2
    -
    1
    b2
    =1
    ，∴a2=3，b2=1，∴双曲线C的方程为
    x2
    3
    -y2=1    ；
    （Ⅱ）∵直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C恒有两个不同的交点，
    ∴方程组
    x2
    3
    -y2=1
    y=kx+
    		2
    恒有两组不同的实数解，
    ∴方程(1-3k2)x2-6
    		2
    kx-9=0    有两个不同实根，
    ∴
    1-3k2≠0
    △=(-6
    		2
    k)2+4×9(1-3k2)＞0
    ，∴k2＜1且k2≠
    1
    3

    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
    6
    		2
    k
    1-3k2
    ，x1x2=-
    9
    1-3k2

    ∵
    OA
    •
    OB
    ＞2，∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+
    		2
    k(x1+x2)+2＞2    ，
    ∴
    k2-3
    1-3k2
    ＞0    ，又∵k2＜1，
    ∴k∈(-1，-
    		3
    3
    )∪(
    		3
    3
    ，1)    ．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知点A是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右顶点，若点C(
    		3
    2
    ，
    		3
    2
    )    在椭圆上，且满足
    OC
    •
    OA
    =
    3
    2
    ．（其中O为坐标原点）
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当
    OM
    +
    ON
    =m
    OC
    ，m∈(0，2)    时，求△OMN面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知圆C过定点F（-
    1
    4
    ，0），且与直线x=
    1
    4
    相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
    （I）求曲线E的方程；
    （II）当△OAB的面积等于
    		10
    时，求k的值；

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
    3
    2
    ，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）已知点S(0，-
    		3
    )，T(0，
    		3
    )    ，求∠SPT的最小值；
    （3）若点F(1，
    3
    2
    )    是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p＞0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
    （1）写出直线l的截距式方程；
    （2）证明：
    1
    y1
    +
    1
    y2
    =
    1
    b
    ；
    （3）当a=2p时，求∠MON的大小．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）以F1、F2为左、右焦点，离心率e=
    1
    2
    ，一个短轴的端点（0，
    		3
    ）；抛物线C2：y2=4mx（m＞0），焦点为F2，椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P．
    （1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
    （2）直线l经过椭圆C1的右焦点F2与抛物线C2交于A1，A2两点，如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的斜率．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=-
    x
    2
    和l2：y=
    x
    2
    ，焦点在y轴上，实轴长为2
    		3
    ，O为坐标原点．
    （1）求双曲线方程；
    （2）设P1，P2分别是直线l1和l2上的点，点M在双曲线上，且
    P1M
    =2
    MP2
    ，求三角形P1OP2的面积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线y=x-1被y2=x截得的弦长为（　　）
    A．3B．2
    		3
    		C．
    		10
    		D．4

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的两焦点分别为F1（-2
    		2
    ，0）、F2（2
    		2
    ，0），长轴长为6，
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．

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