练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p＞0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
    （1）写出直线l的截距式方程；
    （2）证明：
    1
    y1
    +
    1
    y2
    =
    1
    b
    ；
    （3）当a=2p时，求∠MON的大小．
    （1）直线l的截距式方程为
    x
    a
    +
    y
    b
    =1．①
    （2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0．②
    点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=
    -2pa
    b
    ，y1y2=-2pa．
    所以
    1
    y1
    +
    1
    y2
    =
    y1+y2
    y1y2
    =
    -2pa
    b
    -2pa
    =
    1
    b
    ．
    （3）设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，
    则k1=
    y1
    x1
    ，k2=
    y2
    x2
    ．
    当a=2p时，由（2）知，y1y2=-2pa=-4p2，
    由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
    x1x2=
    (y1y2)2
    4p2
    =
    (4p2)2
    4p2
    =4p2，
    因此k1k2=
    y1y2
    x1x2
    =
    -4p2
    4p2
    =-1．
    所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +y2=1    （a＞1）的离心率e=
    		3
    2
    ，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
    （Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    F1，F2是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左右焦点，Q是双曲线上动点，从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（　　）的一部分．
    A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知点P（x，y）满足椭圆方程2x2+y2=1，则
    y
    x-1
    的最大值为______．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，
    |CD|
    |AB|
    =2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
    （Ⅲ）求
    F2A
    •
    F2B
    的最值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的离心率为
    2
    		3
    3
    ，且过点P（
    		6
    ，1）．
    （Ⅰ）求双曲线C的方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2（O为坐标原点），求实数k的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的两条准线间距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为
    		2
    2
    ．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）双曲线C中是否存在以点P(1，
    1
    2
    )    为中点的弦，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知曲线C?x2-y2=1及直线l：y=kx-1．
    （1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
    （2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为
    		2
    ，求实数k的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
    3
    2
    ，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变．
    （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
    （2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；
    （3）设M，N是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
    （4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），M，N是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值．（本小题不必写出解答过程）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案