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已知双曲线C的渐近线为y=±
3
x
且过点M(1,
2
).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值.
(1)由题意可知:双曲线的焦点在x轴上,可设方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1

b
a
=
3
1
a2
-
2
b2
=1
,解得
a2=
1
3
b2=1

∴双曲线C的方程为3x2-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
y=ax+1
3x2-y2=1
,化为(3-a2)x2-2ax-2=0,(3-a2≠0).
∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,∴△=4a2+8(3-a2)>0,化为a2<6.
x1+x2=
2a
3-a2
x1x2=
-2
3-a2
.(*)
OA
OB
,∴
OA
OB
=0

∴x1x2+y1y2=0,又y1=ax1+1,y2=ax2+1,
∴(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,
把(*)代入上式得
-2(1+a2)
3-a2
+
2a2
3-a2
+1=0

化为a2=1.满足△>0.
∴a=±1.
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已知为椭圆E的两个左右焦点,抛物线C以为顶点,为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆离心率e满足,则e的值为( )

M

 
A.             B.          C.          D.

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(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

直线l:x-y=0与椭圆
x2
2
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设抛物线y2=2px(p为常数)的准线与X轴交于点K,过K的直线l与抛物线交于A、B两点,则
OA
OB
=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,A、B分别是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上、下两顶点,P是双曲线
y2
a2
-
x2
b2
=1
上在第一象限内的一点,直线PA、PB分别交椭圆于C、D点,如果D恰是PB的中点.
(1)求证:无论常数a、b如何,直线CD的斜率恒为定值;
(2)求双曲线的离心率,使CD通过椭圆的上焦点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

若椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2
5
,且过点(-3,2),⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q,当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;
(3)求
OA
OB
的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知点A是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点,若点C(
3
2
3
2
)
在椭圆上,且满足
OC
OA
=
3
2
.(其中O为坐标原点)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l与椭圆交于两点M,N,当
OM
+
ON
=m
OC
,m∈(0,2)
时,求△OMN面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆C过定点F(-
1
4
,0),且与直线x=
1
4
相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.
(I)求曲线E的方程;
(II)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值;

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