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若椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2
5
,且过点(-3,2),⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q,当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;
(3)求
OA
OB
的最大值.
(1)由椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2
5
,且过点(-3,2),∴
9
a2
+
4
b2
=1
2c=2
5
a2=b2+c2

解得
c=
5
b2=10
a2=15

∴椭圆的方程为
x2
15
+
y2
10
=1

(2)∵⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,∴⊙O的方程为x2+y2=10.
当弦PQ最大时,即PQ是⊙M的直径,
设直线PA的方程为y-6=k(x-8),即kx-y+6-8k=0.
∵直线PA与⊙O相切,∴点O到直线PA的距离d=
10

|6-8k|
k2+1
=
10
,解得k=
1
3
13
9

∴直线PA的方程为
1
3
x-y+6-
8
3
=0
,或
13
9
x-y+6-
104
9
=0

化为x-3y+10=0,或13x-9y-50=0.
(3)设∠AOB=2θ,∵θ∈(0,
π
2
)
,∴2θ∈(0,π).
OA
OB
=|
OA
||
OB
|cos∠AOB
=10cos2θ,
∵2θ∈(0,π),∴cos2θ在θ∈(0,
π
2
)
上单调递减,
因此当θ取得最小值时,cos2θ取得最大值.
∵cosθ=
10
OP
,∴当OP取得最小值时,cosθ取得最大值.
当P点取OM与⊙M的交点时,OP取得最小值.
又|OP|=|OM|-2=
62+82
-2
=8.
cosθ=
10
8
,cos2θ=2cos2θ-1=-
11
16

OA
OB
取得最大值10×(-
11
16
)
=-
55
8
练习册系列答案
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已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=
21
3
的双曲线过点P(6,6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问:是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论.

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3
x
且过点M(1,
2
).
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(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值.

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如图,从椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,又点A是椭圆与x轴正半轴的交点,点B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP,|F1A|=
10
+
5

(1)求椭圆E的方程.
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C,D,且
OC
OD
?若存在,写出该圆的方程,并求|CD|的取值范围;若不存在,说明理由.

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已知椭圆C1
x2
2
+y2=1
和圆C2x2+y2=1,左顶点和下顶点分别为A,B,且F是椭圆C1的右焦点.
(1)若点P是曲线C2上位于第二象限的一点,且△APF的面积为
1
2
+
2
4
,求证:AP⊥OP;
(2)点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点,且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍,求证:直线MN恒过定点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆E:
x2
a2
+y2=1
(a>1)的离心率e=
3
2
,直线x=2t(t>0)与椭圆E交于不同的两点M、N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)当圆C与y轴相切的时候,求t的值;
(Ⅲ)若O为坐标原点,求△OMN面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
左、右顶点分别为A、B,椭圆C的右焦点为F,
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
10
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(t,m)是直线x=9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知点P(x,y)满足椭圆方程2x2+y2=1,则
y
x-1
的最大值为______.

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