Question

如图，P是抛物线C：x²=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；
（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T
①求证：

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)
②求

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围．

Answer 1

（1）∵F为抛物线的焦点，∴F(0，

1

2

)
设直线l：y=kx+

1

2

，
联立

y=kx+ 1 2 x2=2y

，得x²-2kx-1=0（﹡）
则|PQ|=|PF|+|QF|=(y1+

1

2

)+(y2+

1

2

)=y1+y2+1=k(x1+x2)+2．
由（﹡）得x₁+x₂=2k，带入上式得|PQ|=2k²+2≥2，当仅当k=0时|PQ|的最小值为2；
（2）证明：如图，
①分别过P，Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥x轴，垂足分别为P′，Q′，
则

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P/P|

+

|OT|

|Q/Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y 2 |

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)
②联立

y=kx+b y= 1 2 x2

，消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0（﹟）
则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2．
（方法1）
而

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)≥2|b|

1 y 1 y2

=2|b|

1 b2

=2
而y₁，y₂可取一切不相等的正数∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围为（2，+∞）．
（方法2）

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)=|b|

y1+y2

y1y2

=|b|

2(k2+b)

b2

当b＞0时，上式=

2k2

b

+2＞2；
当b＜0时，上式=

2(k2+b)

-b

．
由（﹟）式△＞0得k²+2b＞0即k²＞-2b
于是

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

＞

2(-2b+b)

-b

=2
综上，

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围为（2，+∞）．