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己知斜率为1的直线l与双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
(Ⅰ)由题设知,l的方程为:y=x+2,代入C的方程,并化简,
得(b2-a2)x2-4a2x-a2b2-4a2=0,
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=
4a2
b2-a2
x1x2=-
4a2+a2b2
b2-a2
,①
由M(1,3)为BD的中点知
x1+x2
2
=1

1
2
×
4a2
b2-a2
=1
,即b2=3a2,②
c=
a2+b2
=2a

∴C的离心率e=
c
a
=2

(Ⅱ)由①②知,C的方程为:3x2-y2=3a2,A(a,0),F(2a,0),
x1+x2=2,x1x2=-
4+3a2
2

故不妨设x1≤-a,x2≥a,
|BF|=
(x1-2a)2+y12
=a-2x1
|FD|=
(x2-2a)2+y22
=2x2-a

|BF|•|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.
又|BF|•|FD|=17,故5a2+4a+8=17.
解得a=1,或a=-
9
5
(舍去),
|BD|=
2
|x1-x2|=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=6,
连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,
从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴,
因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

给出如下四个命题:①方程表示的图形是圆;②椭圆椭圆的离心率;③抛物线的准线的方程是;④双曲线的渐近线方程是。其中所有不正确命题的序号是           

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知为椭圆E的两个左右焦点,抛物线C以为顶点,为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆离心率e满足,则e的值为( )

M

 
A.             B.          C.          D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点,则过点P(m,n)的一条直线与椭圆
x2
7
+
y2
5
=1
的公共点的个数是(  )
A.0B.1C.2D.1或2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
2
+y2=1,其右焦点为F,直线l经过点F与椭圆交于A,B
两点,且|AB|=
4
2
3

(1)求直线l的方程;
(2)求△OAB的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F(-1,0),离心率为
2
2
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,P是抛物线C:x2=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).
(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

直线l:x-y=0与椭圆
x2
2
+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知点A是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点,若点C(
3
2
3
2
)
在椭圆上,且满足
OC
OA
=
3
2
.(其中O为坐标原点)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l与椭圆交于两点M,N,当
OM
+
ON
=m
OC
,m∈(0,2)
时,求△OMN面积的最大值.

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