Question

长方形ABCD，AB=2

2

，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：
（2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：
（3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为（-

2

，0），（

2

，0），（

2

，1）．
设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
则2a=AC+BC，
即2a=

(2 2 )2+1

+1=4＞2

2

，所以a=2．
所以b²=a²-c²=4-2=2．
所以椭圆的标准方程是

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）设直线m的方程为y=kx+2，
由

y=kx+2 x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，
∵直线m与椭圆只有一个公共点，
∴△=64k²-16（k²+1）=0，解得k=±

3

3

．
∴直线m的方程为y=

3

3

x，或y=-

3

3

x．
（3）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．
由

y=kx+2 x2+2y2=4

，得（1+2k²）x²+8kx+4=0．
因为M，N在椭圆上，
所以△=64k²-16（1+2k²）＞0．
设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=-

8k

1+2k2

，x1x2=

4

1+2k2

，
若以MN为直径的圆恰好过原点，则

OM

⊥

ON

，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
所以，

4(1+k2)

1+2k2

-

16k2

1+2k2

+4=0，即

8-4k2

1+2k2

=0，
得k²=2，k=±

2

．
经验证，此时△=48＞0．
所以直线l的方程为y=

2

x+2，或y=-

2

x+2．
即所求直线存在，其方程为y=

2

x+2，或y=-

2

x+2．