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    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，一条准线方程为x=4．
    （1）求椭圆E的标准方程；
    （2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．
    （1）由题意得
    c
    a
    =
    1
    2
    a2
    c
    =4
    a2=b2+c2
    ，解得
    a2=4
    b2=3
    ，∴椭圆E的标准方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）设P（x0，y0）（y0≠0），
    则直线AP的方程为：y=
    y0
    x0+2
    （x+2）
    令x=2得M（2，
    4y0
    x0+2
    ）
    ∴k1=
    2y0
    x0+2
    ，
    ∵k2=
    y0
    x0-2
    ，
    ∴k1k2=
    2
    y20
    x20
    -4
    ，
    ∵P（x0，y0）在椭圆上，∴
    x02
    4
    +
    y02
    3
    =1
    ∴k1k2═-
    3
    2
    为定值．
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    （理）已知方程x4+y2=1，给出下列结论：①它的图形关于x轴对称；②它的图形关于y轴对称；③它的图形是一条封闭的曲线，且面积小于π；④它的图形是一条封闭的曲线，且面积大于π.真命题的序号是           .

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    椭圆
    x2
    2
    +y2=1的弦被点（
    1
    2
    ，
    1
    2
    ）平分，则这条弦所在的直线方程是______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    长方形ABCD，AB=2
    		2
    ，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
    （1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：
    （2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：
    （3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，A（-1，0），B（1，0），过曲线C1：y=x2-1（|x|≥1）上一点M的切线l，与曲线C2：y=-
    		m(1-x2)
    (|x|＜1)    也相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1）．
    （1）用t表示m的值和点N的坐标；
    （2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求此时MN所在直线的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    若点（3，1）是抛物线y2=2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线的顶点在原点O，焦点为椭圆
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1的右焦点F．
    （1）求抛物线的方程；
    （2）设点P在抛物线上运动，求P到直线y=x+3的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，从椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=
    		10
    +
    		5
    ，
    （1）求椭圆E的方程．
    （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且
    OC
    ⊥
    OD
    ？若存在，写出该圆的方程，并求|CD|的取值范围；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．

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