Question

直线l过原点交椭圆16x²+25y²=400于A、B两点，则|AB|的最大值为（　　）

• A、8
• B、5
• C、4
• D、10

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：可以判断当l不存在斜率时，|AB|是短轴长，不最大．当l存在斜率时，设斜率为k，A，B点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），直线l方程为y=kx，联立椭圆的方程可以求出：x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，根据两点间距离公式用A，B坐标表示出|AB|，通过变形，整理可得：|AB|=

16•4+ 4•16•9 16+25k2

，显然k=0时，|AB|最大，这样便可求得|AB|的最大值．

解答： 解：由椭圆的方程可知，该椭圆的焦点在x轴，当直线l不存在斜率时，直线l过原点与x轴垂直，此时AB是椭圆的短轴，显然这时的|AB|不是最大值；
当直线l存在斜率时，设斜率为k，则l的方程为：y=kx，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由：

y=kx 16x2+25y2=400

得，（16+25k²）x²-400=0；
∴x1+x2=0，x1x2=

-400

16+25k2

，y1+y2=0，y1•y2=

-400k2

16+25k2

；
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1+y2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2+(y1+y2)2-4y1y2

=

4•400 16+25k2 + 4•400k2 16+25k2

=

4•400(1+k2) 16+25k2

=

16•4+ 4•16•9 16+25k2

；
∴k=0时，|AB|最大为10．
故选：D．

点评：考查直线方程，椭圆的方程，韦达定理，以及两点间距离公式．