【题目】已知函数f(x)=1- (a>0,a≠1)且f(0)=0.
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;
(3)当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)a=2(2)(-∞,1)(3)
【解析】
(1)根据,求得
的值;(2)由(1)知
,将
的零点转化为函数
与
有交点,即可求得
的取值范围;(3)通过参变分离将不等式转化为
恒成立,再通过换元转化为求函数的最小值.
(1)对于函数f(x)=1- (a>0,a≠1),
由f(0)=1-=0,得a=2.
(2)由(1)知f(x)=1-=1-
.
因为g(x)=(2x+1)·f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k有零点,
所以函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点,所以1-k>0,即k<1.
故实数k的取值范围是(-∞,1).
(3)因为当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,即1->m·2x-2恒成立,亦即m<
-
恒成立.
令t=2x,则t∈(1,2),且m<-
=
=
+
.
由于y=+
在t∈(1,2)上单调递减,
所以+
+
=
,所以m≤
.
故实数m的取值范围是.
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【题目】已知实数,定义域为
的函数
是偶函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求实数值;
(Ⅱ)判断该函数在
上的单调性并用定义证明;
(Ⅲ)是否存在实数,使得对任意的
,不等式
恒成立.若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设不过原点的直线
,与该椭圆交于
两点,直线
的斜率分别为
,满足
.
(i)当变化时,
是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由;
(ii)求面积的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,
的极坐标方程为
.
(1)求直线与
的交点的轨迹
的方程;
(2)若曲线上存在4个点到直线
的距离相等,求实数
的取值范围.
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【题目】以下判断正确的是 ( )
A. 函数为
上的可导函数,则
是
为函数
极值点的充要条件
B. 若命题为假命题,则命题
与命题
均为假命题
C. 若,则
的逆命题为真命题
D. 在中,“
”是“
”的充要条件
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【题目】已知椭圆的左焦点为
,过点
做
轴的垂线交椭圆于
两点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为椭圆
短轴的上顶点,直线
不经过
点且与
相交于
两点,若直线
与直线
的斜率的和为
,问:直线
是否过定点?若是,求出这个定点,否则说明理由.
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【题目】假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的维修费用
(万元)有如下统计资料:
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
若由资料知, 对
呈线性相关关系,试求:
(1)回归直线方程;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
参考公式:回归直线方程: .其中
(注: )
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