【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设不过原点的直线
,与该椭圆交于
两点,直线
的斜率分别为
,满足
.
(i)当变化时,
是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由;
(ii)求面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)y2=1;(Ⅱ)(i)见解析;(ii)(0,1).
【解析】
(Ⅰ)由题设条件,设ck,a=2k,则b=k,利用待定系数法能求出椭圆方程.
(Ⅱ)(i)由,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质,结合已知条件推导出当k变化时,m2是定值
.
②利用椭圆弦长公式,结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围.
(Ⅰ)由题设条件,设ck,a=2k,则b=k,
∴椭圆方程为1,
把点(,
)代入,得k2=1,
∴椭圆方程为y2=1.
(Ⅱ)(i)当k变化时,m2是定值.
证明如下:
由,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,设
∴,
.
∵直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,
∴4k=k1+k2,
∴2kx1x2=m(x1+x2),由此解得,验证△>0成立.
∴当k变化时,是定值
.
②S△OPQ|x1﹣x2||m|
,令
t>1,
得S△OPQ1,
∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈(0,1).
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【题目】墙上有一壁画,最高点处离地面
米,最低点
处离地面
米,距离墙
米处设有防护栏,观察者从离地面高
米的
处观赏它.
(1)当时,观察者离墙多远时,视角
最大?
(2)若,视角
的正切值恒为
,观察者离墙的距离应在什么范围内?
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【题目】甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品(百台),其总成本为
(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入
(万元)满足
,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,完成下列问题:
(1)写出利润函数的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)甲厂生产多少台产品时,可使盈利最多?
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【题目】已知f(x)=,x∈(-2,2).
(1) 判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2) 求证:函数f(x)在(-2,2)上是增函数;
(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求实数a的取值范围.
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【题目】某高校数学与统计学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名,对他们在2018年高考的数学成绩进行调查,统计发现40名新生的数学分数分布在
内.当
时,其频率
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图,并估计这40名新生的高考数学分数的平均数;
(Ⅲ)从成绩在100~120分的学生中,用分层抽样的方法从中抽取5名学生,再从这5名学生中随机选两人甲、乙,记甲、乙的成绩分别为,求概率
.
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【题目】某车间的一台机床生产出一批零件,现从中抽取8件,将其编为,
,…,
,测量其长度(单位:
),得到下表中数据:
编号 | ||||||||
长度 | 1.49 | 1.46 | 1.51 | 1.51 | 1.53 | 1.51 | 1.47 | 1.51 |
其中长度在区间内的零件为一等品.
(1)从上述8个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取2个.
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件长度相等的概率.
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【题目】已知函数f(x)=1- (a>0,a≠1)且f(0)=0.
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;
(3)当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知,定义:
表示不小于
的最小整数,例如:
,
.
(1)若,求实数
的取值范围;
(2)若,求
时实数
的取值范围;
(3)设,
,若对于任意的
,都有
,求实数
的取值范围.
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