Question

已知f(x)=-ax+x³，x∈R.

(1)当x=1时，f(x)取得极值，证明：对任意x₁、x₂(-1，1)，不等式|f(x₁)-f(x₂)|＜4恒成立；

(2)若f(x)是上的单调函数，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若当x₀≥1，f(x₀)≥1，有f=[f(x₀)]=x₀，求证：f(x₀)=x₀.

Answer 1

(1)证明：∵(x)=3x²-a,由于x=1是y=f(x)的一个极值点.

∴(1)=3-a=0,∴a=3. 

∴(x)=3x²-a,f(x)=x³-3x.

当-1≤x≤1时,(x)=3(x+1)(x-1)≤0

∴f(x)在[-1,1]上是减函数 

当-1≤x≤1时，f(x)_min=f(1)=-2.

f(x)_max=f(-1)=2

∴对任意x₁、x₂∈[-1,1],

|f(x₁)-f(x₂)|＜|f(x)_max-f(x)_min|=2-(-2)=4. 

(2)解:∵(x)=3x²-a  若f(x)在上是减函数.

则3x²-a≤0在上恒成立

即a≥3x²在上恒成立

∵当x≥1时，不存在常数a使得a≥3x²在上恒成立  ∴a不存在 

若f(x)在上是增函数

则3x²-a≥0在上恒成立

即a≤3x²在上恒成立

∵x∈时，(3x²)_min=3.

∴a≤3符合题意

∴所求实数a的取值范围为. 

(3)证明：若f(x₀)＞x₀≥1,由(2)得f[f(x₀)]＞f(x₀)

∵f[f(x₀)]=x₀,这时有x₀＞f(x₀),与假设矛盾. 

若x₀＞f(x₀)≥1,则f(x₀)＞f[f(x₀)]

∵f[f(x₀)]=x₀,这时有f(x₀)＞x₀,与假设矛盾.

∴f(x₀)=x_0.